Andre slags geometri
Først i 1800-tallet dukkede den tanke op at man kunne skabe en geometri som ikke byggede på parallelpostulatet, med andre ord en geometri hvor der gennem et punkt uden for en ret linje kunne trækkes andre antal end én ret linje parallel med denne. Det har vist sig muligt at skabe to "nye", modsigelsesfri geometrier med sådanne egenskaber.
På en plan flade (1) kan man gennem et punkt (hvid prik) uden for en linje (gul streg) tegne én og kun én ret linje (blå streg) parallel med den første linje. På en kugleformet flade (2) kan man ikke tegne to ikke-sammenfaldende, rette linjer uden at de krydser hinanden, mens man på den hyperbolske flade (3) gennem samme punkt kan tegne uendeligt mange linjer parallelt med den første linje.
Riemannsk geometri: Ingen parallelle linjer
Mens Euklids postulater gælder for en plan overflade som f.eks. et almindeligt stykke papir, gælder den Riemannske geometri for en kugleformet overflade: Her kan man slet ikke tegne to parallelle linjer som ikke er sammenfaldende, og som ikke skærer hinanden.
En flyvemaskine der flyver "lige ud" i forhold til terrænet under det, vil efter 40.000 km have fuldført en jordomrejse langs en storcirkel; en cirkel med (godt og vel) Jordens radius, og med centrum sammenfaldende med Jordens (teoretiske) centrum. Sådan en storcirkel er den Riemannske geometris "svar" på rette linjer indenfor Euklids geometri.
To fly der flyver Jorden rundt som beskrevet ovenfor, vil enten følge sammenfaldende ruter, eller krydse hinandens ruter to gange for hver jordomrejse - de kan ikke flyve parallelt med hinanden, uden at mindst én af piloterne fortløbende må dreje en lille smule for at undgå at krydse det andet flys rute.
En anden karakteristisk egenskab for den Riemannske geometri er, at vinkelsummen i en trekant, tegnet på en kugleoverflade, vil være større end 180 grader. Dette kan illustreres ved hjælp af en globus: Vælg to punkter på ækvator med 90 længdegraders afstand; mellem disse punkter og en af polerne kan man nu tegne en trekant med tre rette vinkler, og en vinkelsum af 3 · 90° = 270°.
Hyperbolsk geometri: Mange parallelle linjer
Denne geometri kaldes også for Bolyai-Lobatjevskij-geometri, og dens regler gælder for den såkaldte hyperbolske plan: Her kan to rette linjer være enten skærende, parallelle eller ultraparallelle.
To parallelle linjer vil i den ene retning nærme sig asymptotisk til hinanden, dvs. at deres indbyrdes afstand går mod nul når man forlænger linjerne mod det uendelige. I den anden retning fjerner linjerne sig mere og mere fra hinanden.
Heraf følger at der - til forskel fra Euklids parallelpostulat - gælder at der gennem et punkt uden for en ret linje kan trækkes præcis to linjer parallel med denne, nemlig linjer som i hver sin retning er parallel med den givne.
Disse to linjer vil danne en "lille" vinkel med hinanden. Rette linjer som går gennem det givne punkt og ligger inden for den omtalte vinkel siges at være ultraparallelle med
den givne linje.
Endvidere vil to linjer som er vinkelrette på samme tredje linje være ultraparallelle.
En anden vigtig egenskab ved den hyperbolske geometri er at summen af vinklerne i en trekant er mindre end 180 grader.
Denne artikel er fra Wikipedia. Læs artiklen hos Wikipedia.
