|
|
Komplekse tal
| Talsystemer i matematik.
|
|
| Elementære
|
Naturlige tal {0,1,2,3..}
Primtal ⊂, =x:{1,x}
Heltal {..-1,0,1,..}
Rationale tal {
, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4 osv.}
Irrationale tal
Konstruerbare tal
Algebraiske tal
Transcendente tal
π Pi ≈ 3,1415926535
e "e" (konstant) ≈ 2,71828 (≠ )
Reelle tal
{}
Computable numbers
Imaginær enhed ≈/
Imaginære tal
Komplekse tal {},
R1,1 Split-komplekse tal
|
| Komplekse udvidelser
|
Bikomplekse tal
Hyperkomplekse tal
{,i,j,k} Quaternioner
~i2=j2=k2=ijk=-1
Oktonioner
Sedenioner
Superreelle tal
Hyperreelle tal
Surreelle tal
|
| Taltyper og særlige tal
|
Nominelle tal
Ordinaltal {} størrelse, position {n}
Kardinaltal {}
P-adiske tal
Heltalsfølger
Matematiske konstanter
Store tal
∞ Uendelig
<>
|
Komplekse tal forener et reelt og et imaginært tal i en slags "par": Billedlig talt (og i forbindelse med programmering) kan man beskrive et komplekst tal som to mere eller mindre "almindelige tal", kaldet realdelen og imaginærdelen, sat sammen til en enhed. Ganske som med de "almindelige", reelle tal, kan man foretage en lang række regneoperationer med disse komplekse tal, og de bruges ofte til at beskrive og regne på ting som både har en størrelse og en "retning" eller vinkel, f.eks. elektriske vekselstrømme med deres størrelse og faseforhold.
Definition
Mens de reelle tal kan markeres som et bestemt punkt på en tallinje eller "skala", markeres et komplekst tal med et punkt i den matematiske plan; en todimensional flade som f.eks. et stykke papir. Tegningen til højre viser et Argand-diagram; det illustrerer mængden , der omfatter alle komplekse tal: De reelle tal og de imaginære tal er delmængder af de komplekse tal, og ligger langs hhv. den reelle akse og den imaginære akse.
Rektangulær og polær repræsentation
På illustrationen er vist det punkt der repræsenterer det komplekse tal z: Der er to måder at referere til dette tal på:
- Punktet for z ligger ud for realdelen x på den reelle akse, og ud for imaginærdelen y på den imaginære akse, så man kan beskrive tallet ved dets real- og imaginærdel: z = x + i·y. Dette kaldes for rektangulær repræsentation af tallet z, og det skrives x + y·i.
- Punktet for z ligger i en vis afstand r, kaldet modulus, fra koordinatsystemets origo (skæringspunktet mellem reel og imaginær akse), og retningen fra origo til punktet for z danner en vis vinkel Φ, kaldet argumentet, med den reelle akse. Ved at anføre r og Φ har man den såkaldte polære repræsentation af tallet z, og det skrives
Regneoperationer med komplekse tal
Der findes regneregler der fastlægger hvordan man foretager forskellige regneoperationer på komplekse tal (givet på rektangulær form), svarende til dem man kan foretage på reelle tal. Dertil findes der for ethvert komplekst tal tallets såkaldt komplekst konjugerede.
Hvis det komplekse tal A har realdelen xA og imaginærdelen yA, dvs. A = xA + yA·i, så kan man beregne:
| Regneoperation |
Resultat |
| Realdel |
Imaginærdel |
| , kompleks konjugerer til |
|
|
| , reciprokke af |
|
|
Der findes regneforskrifter der fastlægger hvordan man kan udføre de fire grundlæggende regnearter på A og et andet komplekst tal B = xB + yB·i:
| Regneoperation |
Resultat |
| Realdel |
Imaginærdel |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Har man to komplekse tal på kompleks form, f.eks. og , gælder envidere:
| Regneoperation |
Resultat |
| Modulus |
Argument |
|
|
|
|
|
|
Anvendelser
Indenfor elektronik bruges komplekse tal til at modellere strømme, spændinger og "modstande": Hvis en vekselspænding repræsenteres ved det komplekse tal U, så beskriver modulus ("afstanden") til U vekselspændingens spidsværdi, mens argumentet til U ("vinklen") angiver vekselspændingens fase i forhold til en reference.
Fraktaler, for eksempel Juliamængderne og Mandelbrotmængden, dannes ved hjælp af komplekse tal.
(Her kan utvivlsomt indsættes flere emner!)
Ligheder med og forskelle fra vektorer
Selv om addition og subtraktion af komplekse tal foregår på samme måde som for todimensionale vektorer, må de to ting ikke forveksles: Mens man kan foretage en lang række regneoperationer på komplekse tal, kan vektorer kun adderes og subtraheres, og dertil indgå i to forskellige former for vektorprodukt.
Denne artikel er fra Wikipedia. Læs artiklen hos Wikipedia.
|
|
