|
|
Primtal
| Talsystemer i matematik.
|
|
| Elementære
|
Naturlige tal {0,1,2,3..}
Primtal ⊂, =x:{1,x}
Heltal {..-1,0,1,..}
Rationale tal {
, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4 osv.}
Irrationale tal
Konstruerbare tal
Algebraiske tal
Transcendente tal
π Pi ≈ 3,1415926535
e "e" (konstant) ≈ 2,71828 (≠ )
Reelle tal
{}
Computable numbers
Imaginær enhed ≈/
Imaginære tal
Komplekse tal {},
R1,1 Split-komplekse tal
|
| Komplekse udvidelser
|
Bikomplekse tal
Hyperkomplekse tal
{,i,j,k} Quaternioner
~i2=j2=k2=ijk=-1
Oktonioner
Sedenioner
Superreelle tal
Hyperreelle tal
Surreelle tal
|
| Taltyper og særlige tal
|
Nominelle tal
Ordinaltal {} størrelse, position {n}
Kardinaltal {}
P-adiske tal
Heltalsfølger
Matematiske konstanter
Store tal
∞ Uendelig
<>
|
Et primtal er et positivt heltal større end 1, som er deleligt alene med 1 og tallet selv, kaldet de trivielle divisorer.
Ethvert positivt heltal kan skrives som et produkt af primtal på entydig vis (når der ses bort fra rækkefølgen af primtallene). En sådan opskrivning kaldes tallets primfaktoropløsning og de indgående primtal kaldes tallets primfaktorer. F.eks. er 60 = 22 × 3 × 5. Det faktum at ethvert positivt helt tal entydigt kan skrives som et produkt af primfaktorer kaldes [aritmetik]]kens fundamentalsætning.
Bemærk at 1 ikke er et primtal i definitionen ovenfor, da vi jo netop krævede at et primtal er større end 1. Man kunne godt have defineret 1 til at være et primtal, men det gør den videre udvikling af teorien mere besværlig, idet mange sætninger kun gælder for primtal større end eller lig 2. Det gælder for eksempel for den tidligere oplyste entydighed af primfaktoropløsninger. Hvis 1 var defineret til at være et primtal, ville fx 60 kunne skrives som et produkt af primtal på uendelig mange måder. Derfor er det naturligt, at definere 1 til ikke at være et primtal.
Primtal studeres indenfor talteori og danner basis for mange krypteringsalgoritmer.
Her et udpluk af de første primtal:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199,
211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293,
307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397,
401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499,
503, 509, 521, 523, 541.
Hvor mange primtal
Euklid beviste ca. 300 f.kr. at der findes uendeligt mange primtal. Beviset er et modstridsbevis, idet man antager at man kender alle primtal. Ganger man alle disse tal sammen og lægger en til, får man et tal, der enten er et ikke-kendt primtal eller som har en ikke kendt primfaktor (idet ingen af dem man kender jo kan gå op).
Flere matematikere har lavet andre beviser for at der er uendelig mange primtal, specielt har Euler vist at summen af primtallenes reciprokke værdier ikke konvergerer, men går mod uendelig.
Største kendte primtal
Med fremkomsten af computere er der sket en kraftig udvikling i det største kendte primtal. Det største kendte primtal har næsten altid været af formen 2n-1, som kaldes mersennetal (bemærk at ikke alle tal på denne form er primtal!). I maj 2004 er det største kendte primtal 224.036.583-1, det blev fundet den 15. maj 2004 af GIMPS, som er en internetgruppe, der benytter overskydende computertid til at finde mersenneprimtal. 224.036.583-1 har 7.235.733 cifre. Den 26. februar 2005 blev det bekræftet at det største kendte mersenneprimtal er 225.964.951-1
Forskellige slags primtal
Der findes mange specielle former for primtal, f.eks.:
- Primtalstvillinger, det vil sige to primtal der ligge så tæt på hinanden som muligt (bortset fra eksemplet med 2 og 3 vil det sige at der er adskilt af to, f.eks. 5 og 7 eller 17 og 19).
- Mersenneprimtal, primtal på formen 2n-1.
- Fermatprimtal, primtal på formen 2n+1.
Ubesvarede spørgsmål
- Det vides ikke, om der findes uendelig mange primtalstvillinger.
- Goldbachs formodning siger, at ethvert lige heltal større end 3 kan skrives som summen af to primtal. Man har afprøvet denne formodning for meget store tal og har endnu ikke fundet noget modeksempel. Det vides imidlertid ikke om formodningen er sand.
Andre egenskaber
- Ethvert primtal større end 3 har en "nabo" i 6-tabellen (fx er 5 nabo til 6, 11 er nabo til 12 o.s.v.). Dette kan let vises ved at kigge på den rest et primtal må have ved division med 6. Det er let at se at resten altid må være 1 eller 5 idet 0 og 6 udelukkes af at 6 ellers ville gå op, 2 og 4 udelukkes af at 2 ellers ville gå op mens 3 udelukkes af at 3 ville gå op, hvilket strider mod at tallet er et primtal større end 3.
Eksterne henvisninger
Denne artikel er fra Wikipedia. Læs artiklen hos Wikipedia.
|
|